perché il numero 1 non è un numero primo

Il numero 1 non è considerato primo perché, con l’attuale definizione di “numero primo”, non rispetta i requisiti richiesti.

Definizione moderna di numero primo

Oggi in matematica si usa (in sostanza) questa definizione:

• Un numero naturale è primo se:
  • è maggiore di 1
  • è divisibile soltanto per 1 e per se stesso, senza altri divisori.

In modo ancora più preciso:

• Un numero è primo se l’insieme dei suoi divisori contiene esattamente due elementi: 1 e il numero stesso.

Per esempio:

• 17 è primo perché i suoi divisori sono solo 1 e 17.

• 9 non è primo perché ha divisori 1, 3, 9 (cioè tre divisori).

Il numero 1 invece ha un solo divisore: 1. Quindi:

• non è maggiore di 1
• l’insieme dei suoi divisori non ha 2 elementi, ma solo 1.

Per questo, con la definizione attuale, 1 non può essere classificato come numero primo.

Ma allora perché si è scelto proprio questa definizione?

Qui entra in gioco non solo la “logica”, ma anche l’eleganza della teoria dei numeri. C’è un teorema fondamentale, importantissimo:

Ogni numero intero maggiore di 1 si può scrivere in modo unico (a parte l’ordine dei fattori) come prodotto di numeri primi.

Esempio:
6 può essere scritto come:

• 6=2⋅36=2\cdot 36=2⋅3
• oppure 6=3⋅26=3\cdot 26=3⋅2

Ma, a parte l’ordine, non esistono altre scomposizioni in numeri primi.

Questa “unicità” funziona benissimo se 1 non è primo. Se invece decidessimo che 1 è un numero primo, la situazione esploderebbe:

• 6 si potrebbe scrivere come:
  • 6=2⋅36=2\cdot 36=2⋅3
  • 6=1⋅2⋅36=1\cdot 2\cdot 36=1⋅2⋅3
  • 6=1⋅1⋅2⋅36=1\cdot 1\cdot 2\cdot 36=1⋅1⋅2⋅3
  • 6=1⋅1⋅1⋅2⋅36=1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 36=1⋅1⋅1⋅2⋅3
  • e così via, all’infinito.

La scomposizione “in fattori primi” non sarebbe più unica, perché potresti sempre aggiungere quanti 1 vuoi senza cambiare il prodotto.

Per evitare di dover riscrivere il teorema come:

“Ogni numero… si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi a meno di quante volte compare 1 …”

i matematici hanno scelto una strada più pulita:

• basta non considerare 1 come primo
• e tutti i teoremi sulla scomposizione in fattori primi restano eleganti e facili da enunciare.

Quindi è “proibito” che 1 sia primo?

In un certo senso, è una scelta di definizione.

• In passato, in alcune epoche e testi, 1 è stato talvolta considerato primo, perché “è divisibile per 1 e per se stesso”, esattamente come gli altri primi.

• Con lo sviluppo della teoria dei numeri, però, ci si è accorti che escludere 1 rendeva più semplici e più eleganti moltissime dimostrazioni (non solo il teorema fondamentale dell’aritmetica, ma anche altri risultati).

Oggi, per convenzione quasi universale:

• 1 non è primo
• 1 non è nemmeno composto (cioè non è prodotto di numeri primi)
• viene trattato come un caso a parte, detto talvolta “unità” nei numeri interi.

Quindi non è che “non si potrebbe logicamente” chiamarlo primo:
semplicemente la comunità matematica ha scelto la definizione che rende la teoria più lineare e coerente.

Un riassunto “a colpo d’occhio”

• I numeri primi sono i numeri naturali maggiori di 1 con esattamente due divisori: 1 e se stessi.

• Il numero 1 ha un solo divisore (1), quindi non rispetta questa definizione.

• Se 1 fosse considerato primo, la scomposizione in fattori primi non sarebbe più unica (potresti moltiplicare per 1 all’infinito).

• Per mantenere il teorema fondamentale dell’aritmetica e molti altri risultati in forma semplice ed elegante, 1 è escluso dall’elenco dei numeri primi.

• È una scelta di convenzione, adottata perché rende la matematica dei numeri naturali più chiara e ordinata.

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