was sind poset

Ein Poset ist in der Mathematik eine „partially ordered set“, also eine teilweise geordnete Menge. Dabei sind die Elemente nicht zwingend alle miteinander vergleichbar, im Gegensatz zu einer vollständigen (totalen) Ordnung.

Grundidee

• Man hat eine Menge PPP (z.B. Zahlen, Mengen, Aufgaben) und eine Relation ≤\le ≤ darauf.

• Diese Relation erfüllt drei Eigenschaften:
  • Reflexiv : Jedes Element steht zu sich selbst in Beziehung, also x≤xx\le xx≤x.

* **Antisymmetrisch** : Wenn x≤yx\le yx≤y und y≤xy\le xy≤x, dann sind xxx und yyy gleich.

* **Transitiv** : Wenn x≤yx\le yx≤y und y≤zy\le zy≤z, dann gilt x≤zx\le zx≤z.

• Im Gegensatz zur totalen Ordnung muss nicht für jedes Paar x,yx,yx,y gelten, dass entweder x≤yx\le yx≤y oder y≤xy\le xy≤x; manche Paare bleiben unvergleichbar.

Anschauliche Beispiele

• Mengen mit Teilmengenbeziehung: Die Potenzmenge einer Menge, geordnet durch „⊆\subseteq ⊆ ist Teilmenge von“, bildet einen Poset.

• Teilerrelation: Die Menge {1,2,3,4,6,12}\{1,2,3,4,6,12\}{1,2,3,4,6,12} mit der Relation „aaa teilt bbb“ ist ein Poset; viele Zahlen darin sind nicht gegenseitig vergleichbar (z.B. 4 und 6).

• Aufgabenabhängigkeiten: In einem Projektplan, in dem manche Aufgaben vor anderen erledigt werden müssen, bekommt man ebenfalls eine teilweise Ordnung, weil nicht alle Aufgaben direkt vergleichbar sind.

Wichtige Begriffe im Poset

• Minimale und maximale Elemente: Elemente, unter denen kein echtes kleineres bzw. größeres Element in der Ordnung liegt.

• Kleinste (least) und größte (greatest) Elemente: Wenn es ein Element gibt, das kleiner bzw. größer ist als alle anderen, ist es eindeutig und wird so bezeichnet.

• Man stellt Posets oft mit sogenannten Hasse-Diagrammen dar, also Graphen, in denen die Elemente als Punkte und die Ordnungsrelation als Kanten gezeichnet wird.

Unterschied zur totalen Ordnung

• In einer totalen Ordnung (z.B. die üblichen ≤\le ≤ auf den reellen Zahlen) kann man jedes Elementpaar vergleichen.

• In einem Poset gibt es dagegen oft Paare x,yx,yx,y, für die weder x≤yx\le yx≤y noch y≤xy\le xy≤x gilt; sie sind einfach nicht vergleichbar.

Kurz gesagt: Ein Poset ist eine Struktur, die eine sinnvolle „Reihenfolge“ oder „Abhängigkeit“ zwischen Elementen beschreibt, ohne zu erzwingen, dass alles strikt linear sortiert sein muss.

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