أي زوج من المثلثات التالية متشابهان
المسألة تبدو من نوع أسئلة الاختيار من متعدِّد (أ، ب، ج، د) مع رسم عدّة مثلثات، ويُطلَب منك: «أي زوج من المثلثات التالية متشابهان؟».
بما أنّ الرسم أو الأرقام غير مرفقة في سؤالك، لا أستطيع تحديد الزوج بالاسم (مثل: المثلث أ مع ج) لكن أستطيع أن أشرح لك بدقة كيف تقرّر أنت أي زوج هو الصحيح.
فكرة تشابه المثلثات باختصار
يقال عن مثلثين إنهما متشابهان إذا:
- زواياهما المتناظرة متساوية.
- وأضلاعهما المتناظرة متناسبة (نفس النسبة).
لهذا تكون المثلثات المتشابهة لها نفس الشكل، لكن قد يختلف حجمها.
القواعد الثلاث لاكتشاف المثلثات المتشابهة
استعمل واحدة من هذه القواعد:
- تساوي الزوايا (AA أو AAA)
- إذا تساوت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فالمثلثان متشابهان تلقائيًّا (لأن مجموع الزوايا 180°.
* مثال: مثلث فيه 30°، 60°، 90° ومثلث آخر فيه 30°، 60°، 90° → متشابهان.
- تناسب الأضلاع الثلاثة (SSS)
- إذا كان:
ضلع١ضلع١′=ضلع٢ضلع٢′=ضلع٣ضلع٣′\dfrac{ضلع١}{ضلع١'}=\dfrac{ضلع٢}{ضلع٢'}=\dfrac{ضلع٣}{ضلع٣'}ضلع١′ضلع١=ضلع٢′ضلع٢=ضلع٣′ضلع٣
فالمثلثان متشابهان.
- إذا كان:
* مثال: مثلث أطواله 3، 4، 5 ومثلث آخر أطواله 6، 8، 10 → النسب كلها 1:2، إذن متشابهان.
- ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS)
- إذا كان ضلعان في مثلث متناسبين مع ضلعين في مثلث آخر، وكانت الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين متساوية في المثلثين → تشابه.
* مثال: مثلث فيه ضلعان 4، 6 وزاوية بينهما 50°، ومثلث آخر فيه ضلعان 8، 12 وزاوية محصورة 50° → متشابهان.
ماذا تفعل مع سؤال «أي زوج من المثلثات التالية متشابهان؟»
اتّبع هذه الخطوات على كل زوج من المثلثات في الاختيارات:
- إذا كانت المعطيات زوايا:
- ابحث عن زوج مثلثات لهما نفس قياسات الزوايا (أو زاويتين على الأقل متساويتين في كل منهما).
* أي زوج يحقق هذا الشرط يكون متشابهاً.
- إذا كانت المعطيات أطوال أضلاع فقط:
- اكتب النسب بين الأضلاع المتناظرة في كل زوج:
- مثلًا: أولأول′\dfrac{أول}{أول'}أول′أول، ثانيثاني′\dfrac{ثاني}{ثاني'}ثاني′ثاني، ثالثثالث′\dfrac{ثالث}{ثالث'}ثالث′ثالث.
- إذا حصلت على نفس العدد في الثلاث نسب (مثلًا كلها 2 أو 0.5 إلخ)، فهما متشابهان.
- اكتب النسب بين الأضلاع المتناظرة في كل زوج:
- إذا أعطاك ضلعين وزاوية بينهما:
- قارن نسبة الضلعين في المثلث الأول مع نسبة الضلعين المناظرين في المثلث الثاني.
- تأكّد أن الزاوية الواقعة بينهما نفسها في المثلثين ومتساوية قياسًا.
الزوج الصحيح هو أول زوج يحقّق إحدى هذه القواعد (AA، SSS، SAS).
مثال تطبيقي تخيّلي يشبه أسئلة الكتاب
افترض أن السؤال يعرض:
- المثلث 1: أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم
- المثلث 2: أضلاعه 6 سم، 8 سم، 10 سم
- المثلث 3: أضلاعه 3 سم، 5 سم، 7 سم
نقارن المثلث 1 مع 2:
- 3/6=1/23/6=1/23/6=1/2، 4/8=1/24/8=1/24/8=1/2، 5/10=1/25/10=1/25/10=1/2 → نفس النسبة.
إذن المثلثان 1 و2 متشابهان (قاعدة SSS)، أما المثلث 3 فلا تتفق نسب أضلاعه معهما فيُستبعد.
جدول صغير يلخّص القواعد
| القاعدة | ما المطلوب توفره؟ | متى تستخدم؟ |
|---|---|---|
| AA / AAA | تساوي زاويتين (أو ثلاث) في المثلثين. | عندما تكون الزوايا المعطاة أكثر من الأضلاع. |
| SSS | تناسب الأضلاع الثلاثة في المثلثين. | عندما تكون أطوال جميع الأضلاع معطاة. |
| SAS | تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة بينهما. | عندما يُعطى ضلعان وزاوية بينهما في كل مثلث. |
