Dreieckszahlen sind spezielle Zahlenfolgen, bei denen sich jeweils so viele Punkte zu einem regelmäßigen Dreieck anordnen lassen, wie die Zahl angibt. Die Folge beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … .

Kurze Definition

  • Eine Dreieckszahl ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Zahl nnn, also 1+2+3+⋯+n1+2+3+\dots +n1+2+3+⋯+n.
  • Man schreibt dafür oft Tn=1+2+⋯+nT_n=1+2+\dots +nTn​=1+2+⋯+n, und es gilt die kompakte Formel Tn=n(n+1)2T_n=\frac{n(n+1)}{2}Tn​=2n(n+1)​.

Anschauliches Bild

  • Stell dir Punkte vor, die so gelegt werden, dass sie ein gleichseitiges Dreieck bilden:
    1 Punkt, dann 3 Punkte (1 oben, 2 unten), dann 6 Punkte (1–2–3), dann 10 Punkte, usw.
  • Die Anzahl der Punkte in jedem solchen Dreieck ist genau eine Dreieckszahl.

Erste Beispiele

  • T1=1T_1=1T1​=1
  • T2=1+2=3T_2=1+2=3T2​=1+2=3
  • T3=1+2+3=6T_3=1+2+3=6T3​=1+2+3=6
  • T4=1+2+3+4=10T_4=1+2+3+4=10T4​=1+2+3+4=10
  • T5=1+2+3+4+5=15T_5=1+2+3+4+5=15T5​=1+2+3+4+5=15

Praktische Alltags-Beispiele

  • Anordnung von Bowlingkugeln im Dreieck: 10 Kugeln entsprechen T4T_4T4​.
  • Auch bei Billardkugeln nutzt man oft genau solche dreieckigen Anordnungen, z.B. 15 Kugeln für T5T_5T5​.

Kurz-TL;DR: Dreieckszahlen sind Zahlen wie 1, 3, 6, 10, 15, …, die entstehen, wenn man 1 + 2 + … + nnn addiert und die sich immer als Punkte in einem Dreieck anordnen lassen.