co to jest pryzmatoid
Pryzmatoid to bryła geometryczna (wielościan), której wszystkie wierzchołki leżą w dwóch równoległych płaszczyznach.
Co to jest pryzmatoid?
- Pryzmatoid jest wypukłym wielościanem: żaden odcinek łączący dwa punkty bryły nie wychodzi na zewnątrz.
- Wszystkie wierzchołki tej bryły leżą na dwóch równoległych płaszczyznach – można o nich myśleć jak o „górnej” i „dolnej” podstawie.
- Ściany boczne są najczęściej trójkątami lub trapezami, które łączą krawędzie obu podstaw.
Przykłady pryzmatoidów
Do pryzmatoidów należą m.in.:
- Ostrosłup – szczególny przypadek, gdy jedna „podstawa” redukuje się do pojedynczego punktu (wierzchołka).
- Klin (wedge) – gdy w jednej z płaszczyzn leżą tylko dwa wierzchołki.
- Graniastosłup – gdy wielokąty w obu płaszczyznach są przystające (identyczne kształtem i rozmiarem), a ściany boczne są prostokątami lub równoległobokami.
- Antygraniastosłup, ścięty ostrosłup (frustum) i inne podobne bryły też można traktować jako pryzmatoidy.
| Rodzaj bryły | Czy jest pryzmatoidem? | Dlaczego? |
|---|---|---|
| Graniastosłup prosty | Tak | [3]Wszystkie wierzchołki leżą w dwóch równoległych płaszczyznach; ściany boczne są prostokątami. | [3]
| Ostrosłup | Tak | [3]Wierzchołek leży w jednej płaszczyźnie, podstawa w drugiej; to skrajny przypadek pryzmatoidu. | [3]
| Ścięty ostrosłup | Tak | [3]Dwie podstawy w równoległych płaszczyznach, połączone trójkątnymi lub trapezowymi ścianami. | [3]
Wzór na objętość pryzmatoidu
Dla pryzmatoidu obowiązuje tzw. wzór pryzmatoidu (powiązany z regułą Simpsona).
Jeśli:
- A1A_1A1 – pole dolnej podstawy,
- A3A_3A3 – pole górnej podstawy,
- A2A_2A2 – pole przekroju w połowie wysokości (płaszczyzna równo oddalona od obu podstaw),
- hhh – wysokość bryły (odległość między płaszczyznami),
to objętość pryzmatoidu jest dana wzorem:
V=h (A1+4A2+A3)6V=\frac{h,(A_1+4A_2+A_3)}{6}V=6h(A1+4A2+A3)
Ten wzór wynika z faktu, że pole przekroju zmienia się z wysokością w sposób co najwyżej kwadratowy, więc można zastosować regułę Simpsona do całkowania.
Gdzie spotyka się pryzmatoidy?
- W geometrii i geodezji pryzmatoidy wykorzystuje się do obliczania objętości nasypów, wykopów czy zbiorników o nieregularnych kształtach, gdy znane są pola przekrojów na kilku wysokościach.
- W matematyce wyższej pojęcie pryzmatoidu uogólnia się na wyższe wymiary: wielościan jest wtedy „pryzmatoidalny”, jeśli jego wierzchołki leżą w dwóch równoległych hiperpłaszczyznach.
TL;DR: pryzmatoid to rodzina brył, w której wszystkie wierzchołki leżą w dwóch równoległych płaszczyznach, a objętość liczy się eleganckim wzorem V=h(A1+4A2+A3)6V=\frac{h(A_1+4A_2+A_3)}{6}V=6h(A1+4A2+A3).
Information gathered from public forums or data available on the internet and portrayed here.
