Un numero primo è, per definizione moderna, un numero naturale maggiore di 1 che ha esattamente due divisori distinti: 1 e se stesso. Il numero 1 ha un solo divisore (se stesso), quindi non rientra in questa definizione e per questo oggi non è considerato un numero primo.

1. La definizione che “taglia fuori” l’1

I matematici oggi usano una definizione fatta apposta per dare belle proprietà ai numeri primi.

  • Un numero è primo se:
    • è maggiore di 1;
    • è divisibile solo per 1 e per se stesso;
    • ha quindi esattamente due divisori distinti (1 e lui stesso).
  • Per 2:
    • divisori: 1 e 2 → 2 divisori → primo.
  • Per 3:
    • divisori: 1 e 3 → 2 divisori → primo.
  • Per 1:
    • divisori: solo 1 → 1 divisore → non rispetta la regola “due divisori distinti”.

Quindi è proprio la definizione usata oggi a escludere l’1 dai numeri primi.

2. Il vero motivo: la fattorizzazione unica

Il motivo profondo è che così funziona bene il teorema fondamentale dell’aritmetica.

  • Teorema fondamentale dell’aritmetica:
    • Ogni intero maggiore di 1 si scrive in modo unico come prodotto di numeri primi, a parte l’ordine dei fattori.
  • Esempio:
    • 6 = 2 · 3 = 3 · 2: stessa fattorizzazione, solo cambiato l’ordine.
  • Se 1 fosse primo:
    • 6 = 2 · 3
    • 6 = 1 · 2 · 3
    • 6 = 1 · 1 · 2 · 3
    • 6 = 1 · 1 · 1 · 2 · 3 … e così via.
  • Avremmo infinite fattorizzazioni diverse, e la “unicità” saltarebbe.

Per evitare questa confusione, si sceglie di non considerare 1 come primo, e il teorema rimane pulito ed elegante.

3. È solo una convenzione?

In parte sì: è una scelta di convenienza, ma è una scelta quasi universale perché semplifica tantissimo la teoria dei numeri.

  • Si potrebbe inventare una definizione diversa e dire “per me 1 è primo”, nessuno vieta di farlo in astratto.
  • Però:
    • moltissimi enunciati diventerebbero più complicati (“ogni numero è prodotto unico di primi, tranne che per i fattori 1 ripetuti…”);
* le dimostrazioni sarebbero più lunghe e meno eleganti.
  • Matematici e divulgatori spiegano spesso che, storicamente, l’1 è stato talvolta considerato primo, ma la comunità ha poi abbandonato questa scelta proprio per avere definizioni più pulite.

In altre parole: non è che “non si può” considerare 1 primo, è che è molto più comodo non farlo.

4. E allora che numero è l’1?

L’1 è chiamato “unità”: è l’elemento che moltiplicato per un numero lo lascia uguale (n · 1 = n).

  • Non è primo.
  • Non è composto (un numero composto deve avere almeno tre divisori, e 1 ne ha solo uno).
  • Ha un ruolo speciale perché è il “mattone neutro” della moltiplicazione.

Molti testi e video usano proprio l’esempio dell’1 per far vedere che, in matematica, le definizioni non sono “sacre”, ma vengono scelte per far funzionare meglio tutta la struttura dei teoremi.

TL;DR: uno non è un numero primo perché, con la definizione moderna, un numero primo deve essere maggiore di 1 e avere esattamente due divisori distinti; l’1 ne ha solo uno e, se lo considerassimo primo, perderemmo l’unicità della fattorizzazione in numeri primi, che è una delle colonne portanti dell’aritmetica.

Informazione basata su spiegazioni di testi e blog di matematica e discussioni divulgative online.

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